a, Gọi I là giao điểm của BD và AC

Do B và D đối xứng nhau qua AC nên ta có BD vuông góc với AC và BI = ID

tam giác BCD có CI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác BCD cân tại C --> BC = CD (1)

Tam giác ABD có AI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân tại A --> AB=AD (2)

Tam giác ABC cân tại B nên BC =BA (3)

từ 1,2,3 suy ra BC =BA=CD=AD 

suy ra ABCD là hình thoi

mà BD vuông góc AC nên ABCD là hình vuông (do hình thoi có 2 đường chéo vuông góc sẽ là hình vuông)

b/ Vì FM và AB cùng vuông góc với BC nên AB//FM 

do đó góc FMC = góc BAC

Mà góc BAC = góc FCM (do tam giác ABC cân tại B)

suy ra góc FCM = góc FMC 

suy ra tam giác FCM cân tại F 

do đó FM = FC (4)

tứ giác BEMF có BFM=FBE=MEB= 90 độ

suy ra BEMF là hcn

do đó FM=BE (5)

từ 4,5 suy ra FC = BE

Tam giác AFC và tam giác DEB có

AC =BD (do ABCD là hình vuông)

góc DBE = góc FCA (=45 độ)

CF =BE .

Do đó tam giác AFC = tam giác DEB (C.G.C)

suy ra góc IDM = góc KAM (Gọi K là giao điểm của DE và AF)

ta có góc IMD = KMA (đối đỉnh)

mà IMD + IDM = 90 (do tam giác IDM vuông tại I)

nên ta được KMA + KAM = 90 ---> góc MKA = 90 --> AF vuông góc với DE

c/ Hai tam giác vuôngADE và BAF có

ED = AF (do hai tam giác AFC và DEB bằng nhau)

AD=BA 

Do đó tam giác ADE = tam giác BAF (cạnh huyền - cạnh góc vuông)