a) Xét ΔBAC có

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của BC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC(đ/n đường trung bình của tam giác)

⇒MN=12AC⇒MN=12AC và MN//AC(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: MN=12ACMN=12AC(cmt)

mà AQ=12ACAQ=12AC(Do Q là trung điểm của AC)

nên MN=AQ

Xét tứ giác MHQA có MN=AQ(cmt) và MN//AQ(cmt)

nên MHQA là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

mà ˆMAQMAQ^=90 độ(GT)

nên MHQA là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b)

Nối AN

Ta có : N và I đối xứng với nhau qua M(GT)

mà M∈BA(gt)∈BA(gt)

nên I và N đối xứng với nhau qua BA

⇒⇒BA là đường trung trực của IN

hay MA là đường trung trực của IN

xét ΔIANΔIAN có

MA là đường trung trực của IN(cmt)

nên ΔIANΔIAN cân tại A(định lí tam giác cân)

Ta có: ΔIANΔIAN cân tại A(cmt)

mà AM là đường trung trực của ΔIANΔIAN(cmt)

nên AM cũng là đường phân giác của ΔIANΔIAN(định lí tam giác cân)

⇒⇒ AM là tia phân giác của ˆIANIAN^

⇒⇒ ˆIAM=ˆNAMIAM^=NAM^

Ta có : N và K đối xứng với nhau qua Q(GT)

mà Q∈AC(gt)∈AC(gt)

nên K và N đối xứng với nhau qua CA

⇒⇒CA là đường trung trực của KN

hay QA là đường trung trực của KN

xét ΔNAKΔNAK có

QA là đường trung trực của KN(cmt)

nên ΔNAKΔNAK cân tại A(định lí tam giác cân)

Ta có: ΔNAKΔNAK cân tại A(cmt)

mà AQ là đường trung trực của ΔNAKΔNAK(cmt)

nên AQ cũng là đường phân giác của ΔNAKΔNAK(định lí tam giác cân)

⇒⇒ AQ là tia phân giác của ˆKANKAN^

⇒⇒ ˆNAQ=ˆKAQNAQ^=KAQ^

Ta có: ˆIAK=ˆIAM+ˆMAN+ˆNAQ+ˆKAQIAK^=IAM^+MAN^+NAQ^+KAQ^

=2⋅ˆMAN+2⋅ˆQAN=2⋅MAN^+2⋅QAN^

=2(ˆMAN+ˆNAQ)=2⋅90=2(MAN^+NAQ^)=2⋅90 độ=180 độ

vậy: 3 điểm I,A,K thẳng hàng (1)

c) Ta có: AI=AN(do ΔAIN cân tại A)

AN=AK(do ΔANK cân tại A)

Do đó: AI=AK(2)

Từ (1) và (2) suy ra: A là trung điểm của IK

hay I và K đối xứng với nhau qua A