a) Trong đường tròn (M;MH), có AC và AH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: MA là tia phân giác của góc HMC và AC=AH

Suy ra: ^CMA=^HMA hay ^CMH=2^HMA

Trong đường tròn (M;MH), có BD và BH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại B, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: MB là tia phân giác của góc HMD và BD=BH

Suy ra: ^HMB=^DMB hay ^DMH=2^HMB

Tam giác ABM nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M

Suy ra: ^AMB=90∘ hay ^HMA+^HMB=90∘

Suy ra: ^CMH+^HMD=2^HMA+2^HMB

=2(^HMA+^HMB)=2.90∘=180∘

Vậy C,M,D thẳng hàng.

b) Theo câu a) ta có: AC=AH và BD=BH

Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH.

Suy ra: AC+BD=AH+BH=AB không đổi

c) Ta có: AC⊥CD và BD⊥CD ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: AC//BD hay tứ giác ABDC là hình thang

Mà OA=OB (= bán kính (O))

Và MC=MD (= bán kính (M))

Suy ra OM là đường trung bình của hình thang ABCD

Khi đó OM//AC. Suy ra: OM⊥CD hay ^OMI=90∘

Tam giác OMI vuông tại M có MH⊥OI.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: OM2=OH.OI

Mà OM là bán kính đường tròn (O) nên OM có độ dài không đổi.

Suy ra: OH.OI không đổi.