Bài 10. Cho hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\).
a) Tính thể tích khối tứ diện \(A'BB'C\).
b) Mặt phẳng đi qua \(A'B'\) và trọng tâm tam giác \(ABC\), cắt \(AC\) và \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Tính thể tích hình chóp \(C.A'B'FE\).
Giải 

a) Ta tính thể tích hình chóp \(A'.BCB'\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\), ta có:
\(A'M \bot B'C'\)                                (1)
Lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên:
\(BB' \bot (A'B'C')\)
\( \Rightarrow BB' \bot A'M\)                             (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(A'M \bot (BB'C')\) hay \(A'M\) là đường cao của hình chóp \(A'.BCB'\).
Ta có: \(A'M\) = \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) ;        \({S_{BB'C}} = {1 \over 2}{a^2}\)
\( \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {1 \over 3}.A'M.{S_{BB'C}} \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)
b) 

Thể tích hình chóp \(C.A'B'EF\) bằng tổng thể tích hai hình chóp:
- \(V_1\) là thể tích hình chóp đỉnh \(B'\), đáy là tam giác \(CEF\).
- \(V_2\) là thể tích hình chóp đỉnh \(B'\), đáy là tam giác \(A'EC\).
Do \((ABC) // (A'B'C')\) nên dễ thấy \(EF // AB\). Ta cũng có:
\(EF\) = \({2 \over 3}a\)
Hình chóp \(B'.CEF\) có chiều cao \(BB' = a\) và diện tích đáy là:
\({S_{C{\rm{EF}}}} = {1 \over 2}.{{2a} \over 3}.{2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 9}\)
Từ đây ta có: \({V_1} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {27}}\)
Do \(EC = {2 \over 3}AC\) nên \({S_{A'EC}} = {2 \over 3}a.{1 \over 2}a = {{{a^2}} \over 3}\)
Hình chóp \(B'.A'EC\) có chiều cao là \(B'I\) (chiều cao của \(△A'B'C'\)) bằng \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) nên \(V_2\)= \({{{a^3}\sqrt 3 } \over {18}}\)
Vậy thể tích hình chóp \(C.A'B'FE\) là: \(V = V_1 + V_2\) = \({{5{a^3}\sqrt 3 } \over {54}}\)