Bài 9. Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SC\). Mặt phẳng đi qua \(AM\) và song song với \(BD\), cắt \(SB\) tại \(E\) và cắt \(SD\) tại \(F\). Tính thể tích khối chóp \(S.AEMF\).
Giải

Hình chóp \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên chân \(H\) của đường cao \(SH\) chính là tâm của đáy. Mặt phẳng đi qua \(AM\) và song song với \(BD\) cắt mặt phẳng \((SDB)\) theo một giao tuyến song song với \(BD\), hay \(EF // BD\). Ta dựng giao tuyến \(EF\) như sau: Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(SH\).
Qua \(I\) ta dựng một đường thẳng song song với \(BD\), đường này cắt \(SB\) ở \(E\) và cắt \(SD\) ở \(F\).
Ta có: \(\widehat {SAH}\) = \(60^0\). Tam giác cân \(SAC\) có \(SA = SC\) và góc \(SAC = 60^0\) nên nó là tam giác đều: \(I\) là giao điểm của các trung tuyến \(AM\) và \(AH\) nên: \({{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)
Do \(EF // DB'\) \( \Rightarrow {{{\rm{EF}}} \over {DB}} = {{SF} \over {SD}} = {{SE} \over {SB}} = {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)
Vì \(DB = a\sqrt2\) \( \Rightarrow {\rm{EF}} = {{2a\sqrt 2 } \over 3}\)
Tam giác \(SAC\) là tam giác đều nên \(AM = {{AC\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)
Ta lại có \(DB \bot (SAC)\) \( \Rightarrow DB \bot AM\). Kết hợp với \(DB // EF\) nên \(EF \bot AM\). Tứ giác \(AEMF\) có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích:
\({S_{AEMF}} = {1 \over 2}{\rm{EF}}.AM = {1 \over 2}.{{2a\sqrt 2 } \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
Mặt khác, tam giác \(ASC\) là tam giác đều, \(M\) là trung điểm của \(SC\) nên \(AM \bot SC\). Ta cũng có \(DB \bot (SAM)\) \( \Rightarrow  DB \bot SC\) vì \(DB // EF\) nên \(EF \bot SC\). Từ kết quả trên, suy ra \(SM \bot(AEMF)\).
Dễ thấy \(SM = {{a\sqrt 2 } \over 2}\) (do tam giác \(SAC\) đều). Do đó: \({V_{S.AEMF}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {18}}\).