Bài 37. Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\), \(Ax\) và \(By\)  là hai tiếp tuyến với  nửa đường tròn tại \(A\) và \(B\). Lấy trên tia \(Ax\) điểm \(M\) rồi vẽ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N\).
a) Chứng minh rằng \(MON\)  và \(APB\) là hai tam giác vuông đồng dạng.
b) Chứng minh rằng \(AM.BN = R^2\)
c) Tính tỉ số \(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}\)khi \(AM\) = \(\frac{R}{2}\)
d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra.
Giải:

a) Ta có \(OM\), \(ON\) lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {AOP}\) và \(\widehat {BOP}\) 
Mà \(\widehat {AOP}\) kể bù \(\widehat {BOP}\) nên suy ra \(OM\) vuông góc với \(ON\).
Vậy \(∆MON\) vuông tại \(O\).
Lại có \(∆APB\) vuông vì có góc \(\widehat{APB}\) vuông (góc nội tiếp chắn nửa cung tròn)
Tứ giác \(AOPM\) nội tiếp đường tròn vì có \(\widehat{MAP}\) + \(\widehat{MPO}\) = \(180^0\).  Nên \(\widehat{PMO}\) = \(\widehat{PAO}\) (cùng chắn cung \(OP\)).
Vậy hai tam giác vuông \(MON\) và \(APB\) đồng dạng vì có cặp góc nhọn bằng nhau.
b)
Tam giác  \(AM = MP, BN = NP\) (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Tam giác vuông \(MON\) có \(OP\) là đường cao nên:
\(MN.PN = OP^2\) (2)
Từ 1 và 2 suy ra \(AM.BN = O{P^2} = {R^2}\)
 c) Từ tam giác \(MON\) đồng dạng với tam giác \(APB\) ta có :
\(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}= \frac{MN^2}{AB^2}\)
Khi \(AM\) = \(\frac{R}{2}\) thi do \(AM.BN = {R^{2{\rm{ }}}}\) suy ra \(BN = 2R\)
Do đó \(MN = MP + PN = AM + BN\) = \(\frac{R}{2}\) + \(2R\) =  \(\frac{5R}{2}\)
Suy ra \(MN^2\) = \(\frac{25R^2}{4}\)
Vậy \(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}\) = \(\frac{ \frac{25R^2}{4}}{(2R)^2}= \frac{25}{16}\)
d) Nửa hình tròn \(APB\) quay quanh đường kính \(AB = 2R\) sinh ra một hình cầu có bán kính \(R\).
Vậy \(V\) =  \(\frac{4}{3}\)\(πR^3\)