Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 4

Bài 77 (trang 155 sgk Đại Số 10 nâng cao): Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a+b+c≥√ab+√bc+√ca với a≥0;b≥0;c≥0

b) a²b²+b² c²+c² a²≥abc(a+b+c)với mọi a,b,c ∈ R khi nào có đẳng thức

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho các số không âm ta có:

a+b≥2√ab,b+c≥2√bc,c+a≥2√ca

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

a² b²+b² c²≥a2b² c;b² c²+c² a²≥2abc²;a² b²+c² a²≥2a² bc

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức sau:

2(a² b²+b² c²+c² a² )≥2(a² bc+2b² c+abc²)

⇒ a² b²+b² c²+c² a²≥abc(a+b+c)

Đẳng thức xảy ra ⇒a² b²=b² c²=c² a² (chẳng hạn a=b=c=1)