Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

A. Phương pháp giải

1. Khái niệm hình trụ

Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quay cạnh AB cố định ta được 1 hình trụ (H.1)

- AD và BC quét nên hai đáy của hình trụ. HÌnh tròn (A) và (B) bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song.

- DC quét nên mặt xung quanh của hình trụ, DC và EF là hai đường sinh. Độ dài đường sinh là chiều cao của hình trụ.

2. Công thức

(R là bán kính đáy, h là chiều cao, S là diện tích đáy).

C. Bài tập tự luận

Bài 1: Một vật thể có dạng hình trụ (H₂) bán kính đường tròn đáy và chiều cao của nó đều bằng 2a (cm). Người ta khoan một lỗ cũng có dạng hình trụ có bán kính đáy và độ sâu đều bằng a (cm).

a) Tính thể tích phần vật thể còn lại.

b) Nếu ta sơn cả bên trong lẫn bên ngoài vật thể thì diện tích vật thể được bao phủ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Gọi thể tích các hình trụ lớn, hình trụ nhỏ lần lượt là V₁, V₂

Thể tích cần tìm sẽ là:

V = V₁ - V₂

V = π(2a)².2a - π.a².a

= 8πa³ - πa³

= 7πa³ (cm³)

b) Diện tích cần tìm bằng diện tích toàn phần của hình trụ lớn cộng thêm diện tích xung quanh của hình trụ nhỏ:

S = 2π.2a.2a + 2π.(2a)²+ 2π.a.a

= 8πa² + 8πa² + 2πa²

= 18πa² (cm²)

Bài 2: Có 2 lọ có dạng hình trụ, các kích thước như ở hình 3. Hãy so sánh dung tích của 2 lọ và diện tích xung quanh của 2 lọ.

Hướng dẫn giải

a) V₁ = πR² . 2a = 2πR²a

V₂ = π.(2R)².a = 4πR²a

=>V₁ = 2V₂

b) S₁ = 2πR.2a = 4πR.a

S₂ = 2π.2R.a = 4πRa

=> S₁ = S₂

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều cạnh a, chiều cao lăng trụ là h. Xét hai hình trụ, một hình có đáy là hình tròn nội tiếp đáy lăng trụ, một hình có đáy là hình tròn ngoại tiếp đáy lăng trụ. Chiều cao của hai hình trụ này đều bằng chiều cao của hình lăng trụ.

a) Tính S_xq của hai hình trụ đó.

b) Tính tỷ số thể tích, tỷ số S_xq của hai hình trụ.

Tìm sự liên hệ giữa hai tỷ số đó.

Hướng dẫn giải

Dễ thấy hình lục giác đều có cạnh a nên:

=> R =a ; r= a√3/2

a) Gọi S₁, S₂ lần lượt là diện tích xung quanh của hình tròn ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ. Ta có:

S₁ = 2πRh = 2πah

S₂ = 2πrh = πah√3

b) Gọi V₁, V₂ lần lượt là thể tích của hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ đó. Ta có:

V₁ = πR²h = πa²h

V₂ = πr²h = 3πa²h/4