Cung chứa góc

A. Phương pháp giải

1. Với đoạn thẳng AB và góc α cho trước (0^o < α < 180^o) thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn ∠AMB = α là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

2. Cách giải bải toán quỹ tích.

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó ta phải chứng minh hai phần.

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất T là hình H.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho ΔABC có cạnh BC cố định và ∠A = α không đổi (0^o < α < 180^o). Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp ΔABC

Hướng dẫn giải

* Phần thuận:

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC nên BI là phân giác của ∠B, do đó:

∠IBC = 1/2∠ABC

CI là phân giác ∠ACB, do đó: ∠ICB = 1/2 ∠ACB

Suy ra: ∠IBC + ∠ICB = 90^o - α

Trong ΔBCI có ∠BIC = 180^o - 1/2(∠ABC + ∠ACB)

=180^o - (90^o - 1/2 α) = 90^o + 1/2 α

=> Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới một góc 90^o + 1/2 α nên I thuộc cung chứa góc 90^o + 1/2 α dừng trên đoạn thẳng BC (trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A).

* Phần đảo:

Lấy I’ thuộc cung chứa góc 90^o + 1/2 α nói trên. Vẽ các tia Bx và Cy sao cho BI’ là tia phân giác của ∠CBx và CI’ là tia phân giác của góc ∠BCy. Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A’.

Vì I’ thuộc cung chứa góc 90^o + 1/2 α dựng trên đoạn BC nên:

∠BI'C = 90^o + 1/2 α

Do đó: ∠I'BC + ∠I'CB = 180^o - ∠BIC = 90^o - 1/2α

Vì BI’ là phân giác của ∠A'BC và CI’ là phân giác của ∠A'CB nên

∠A'BC + ∠A'CB = 2(∠I'BC + ∠I'CB) = 180^o - α

Mặt khác I’ là giao điểm các tia phân giác của ∠A'BC và ∠A'CB nên I’ là tâm đường tròn nội tiếp ΔA'BC

Kết luận: Quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp ΔABC là cung chứa góc 90^o + 1/2 α dựng trên đoạn BC.

Bài 2: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định nằm trong đường tròn . Một đường thẳng d quay quanh điểm A cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.

Hướng dẫn giải

* Phần thuận:

Vì I là trung điểm của dây MN suy ra OI ⊥ MN Do đó ∠OIA = 90^o

Vì điểm I nhìn đoạn OA cố định dưới góc 90^o nên I nằm trên đường tròn đường kính OA.

* Phần đảo:

Lấy điểm I’ bất kỳ thuộc đường tròn đường kính OA.

Nối AI’ cắt đường tròn (O) tại M’ và N’

Vì I’ thuộc đường tròn đường kính OA nên ∠OI'A = 90^o hay OI' ⊥ M'N'

Suy ra I’ là trung điểm của M’N’ (theo quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của MN là đường tròn đường kính OA.

Bài 3: Dựng ΔABC biết BC = 8cm; ∠A = 60^o và trung tuyến AM = 5cm.

Hướng dẫn giải

* Phân tích:

Giả sử đã dựng được ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vì ∠BAC = 60^o nên A thuộc cung đường tròn chứa góc 60^o dựng trên đoạn BC.

Lại có: AM = 5cm, nên A thuộc đường tròn tâm M, bán kính 5cm.

* Cách dựng:

Dựng đoạn thẳng BC = 8cm. Xác định trung điểm M của BC.

Dựng cung chứa góc 60^o trên đoạn thẳng BC.

Dựng đường tròn tâm M, bán kính 5cm. Gọi giao điểm của cung chứa góc và đường tròn (M, 5cm) là A và A’.

Ta có hai tam giác ABC và A’BC đều thỏa mãn đề bài.

* Chứng minh:

Vì A thuộc cung chứa góc 60^o dựng trên đoạn BC nên ∠A = 60^o

Lại có: A thuộc đường tròn (M, 5cm) nên AM = 5cm.

BC = 8cm theo cách dựng.

* Biện luận:

Bài toán luôn có nghiệm hình.

Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, có C là điểm chính giữa của cung AB. M là một điểm chuyển động trên cung BC . Lấy điểm N thuộc đoạn AM sao cho AN = MB. Vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn; D là điểm thuộc Ax sao cho AD = AB .

a) Chứng minh rằng ΔMNC vuông cân.

b) Chứng minh rằng DN ⊥ AM

c) Tìm quỹ tích điểm N.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ΔANC = ΔBMC (c.g.c)

Do đó: CN = CM

Lại có: ∠CMA = 1/2 SđAC = 1/2 .90^o = 45^o

Từ (1) và (2) suy ra ΔMNC vuông cân tại C.

b) Xét ΔAND và ΔBMA có:

+ AD = AB

+ ∠DAN = ∠ABM

+ AN = BM (gt)

=> ΔAND = ΔBMA do đó ∠AND = ∠BMA .

Mà ∠BMA = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra ∠AND = 90^o hay DN ⊥AM.

c) * Phần thuận:

Vì ∠AND = 90^o N nhìn đoạn AD cố định dưới một góc 90^o nên N thuộc đường tròn đường kính AD.

Giới hạn: Nếu M ≡ A thì N ≡ C, nếu M ≡ C thì N ≡ A do đó quỹ tích điểm N là cung nhỏ AN của đường tròn đường kính AD (cung này thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Ax có chứa nửa đường tròn (O)).

* Phần đảo: Học sinh tự chứng minh.