Đường tròn

A. Phương pháp giải

1, Định nghĩa đường tròn

Đường tròn là quỹ tích những điểm cách đều một điểm cố định trong mặt phẳng.

Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

Chú ý:

- Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.

- Nếu hai đường tròn có 3 điểm chung thì chúng phải trùng nhau

- Để xác định một đường tròn ta xác định tâm và bán kính của nó hoặc 3 điểm phân biệt thuộc đường tròn.

- Để chứng minh nhiều điểm nằm trên một đường tròn ta chứng minh điểm ấy cách đều 1 điểm xác định.

2. Định lý

a, Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b, Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

3. Tính chất đối xứng

-Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

- Bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.

4. Các định lý liên quan đến dây cung và đường kính

1, Trong các dây cung của một đường tròn, dây cung lớn nhất là đường kính.

2, Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm dây ấy. Ngược lại, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung( không phải là đường kính) thì vuông góc với dây cung ấy.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AD=12cm, CD=16cm. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có OA = OB = OC = OD nên bốn điểm A, B,C,D thuộc cùng một đường tròn( tâm O, bán kính OA).

AC² = AD² + DC² = 12² + 16² = 400

=> AC = 20

Bán kính của đường tròn bằng 10cm.

Bài 2: Trong các câu sau, câu nào đúng? Câu nào sai?

a, Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung.

b, Hai đường tròn phân biệt có thể có ba điểm chung phân biệt

c, Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác bao giờ cũng nằm trong tam giác ấy.

Hướng dẫn giải

a. Đúng

b. Sai

c. Đúng

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn(O). Đường cao AH cắt đường tròn ở D.

a, Vì sao AD là đường kính của đường tròn (O).

b, Tính số đo góc ACD

c, Cho BC=24cm,AC=20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O)

Hướng dẫn giải

a, Tam giác ABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC. Do đó AD là đường trung trực của BC. Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên O nằm trên AD. Vậy AD là đường kính của đường tròn (O).

b, Tam giác ACD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên ∠ACD = 90^o

c, Ta có BH = HC = BC/2 = 12(cm)

Tam giác AHC vuông tại H nên AH² = AC² - HC² = 20² - 12² = 256

=> AH = 16(cm)

AC² = AD. AH

AD = AC²/AH = 25(cm)

Bán kính đường tròn(O) bằng 12,5cm.

Bài 4: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:

a, Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường thẳng.

b, HK < BC

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của BC.

Áp dụng định lý” Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.”

Xét tam giác vuông CBH có HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC => HI = 1/2 BC (1)

Xét tam giác vuông CBK có KI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC => KI = 1/2 BC (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra HI=KI=IB=IC. Vậy bốn điểm B, K, H, C cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính IB.

b, Trong đường tròn tâm (I) ở trên, HK là dây, BC là đường kính nên KH < BC.(Dây cung bao giờ cũng nhỏ hơn đường kính).