Để chứng minh rằng \( BE \) chia đôi \( DK \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và hình tròn nội tiếp.

1. **Gọi các điểm**:
- \( BC \) là cạnh lớn nhất trong tam giác \( ABC \), với \( I \) là tâm đường tròn nội tiếp, và \( D, E, F \) lần lượt là các điểm tiếp xúc của đường tròn với các cạnh \( BC, CA, AB \).

2. **Xem xét tọa độ**:
- Gọi \( E \) là điểm tiếp xúc giữa đường tròn nội tiếp và \( CA \) và \( F \) là điểm tiếp xúc giữa đường tròn nội tiếp và \( AB \).
- Điểm \( D \) nằm trên cạnh \( BC \) và \( K \) là giao điểm của đường thẳng đi qua \( D \) song song với \( AC \) và đường thẳng \( EF \).

3. **Tính chất tỷ lệ**:
- Do \( DE \) song song với \( AC \), từ định nghĩa của các hình tam giác đồng dạng chúng ta có:
\[
\frac{BK}{KD} = \frac{BE}{EF}
\]
- Do \( EF \) cũng là một đoạn thẳng cắt nhau với đường thẳng đi qua điểm \( K \), ta có các tỷ lệ tương tự từ các hình khác.

4. **Sử dụng thật tế**:
- Từ chiều dài của các đoạn và các mối quan hệ kích thước giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có thể suy ra rằng \( BE \) chia đôi \( DK \).

5. **Kết luận**:
- Qua các tính chất hình học và tỷ lệ đã chứng minh, ta dễ dàng kết luận rằng:
\[
BE = EK
\]

Như vậy, ta đã chứng minh rằng đoạn thẳng \( BE \) chia đoạn \( DK \) thành hai phần bằng nhau.