Chương 3 : Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Luyện tập (trang 109)

Bài 16 (trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

a) Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng;

b) Chứng minh rằng u_n = 1 + (n – 1).2ⁿ với mọi n ≥ 1.

Lời giải:

a) Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), ta có:

u_{n + 1} - u_n = (n + 1).2ⁿ > 0 Ɐ n ≥ 1

Do đó (u_n) là một dãy số tăng.

b) Ta sẽ chứng minh u_n = 1 + (n – 1).2² (1) với mọi n ≥ 1, bằng phương pháp quy nạp.

Với n = 1, ta có u₁ = 1 = 1 + (1 – 1).2¹. Như vậy(1) đúng khi n = 1

Giả sử (1) đúng khi n = k, k ∈ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết quy nạp ta có:

u_{k + 1} = u_k + (k + 1).2^k = 1 + (k + 1).2^k = 1 + ( k – 1).2^k + (k + 1).2^k = 1 + k.2^{k + 1}

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọin ≥ 1.