Tính giá trị của biểu thức? Tổng của số hạng đầu \( u_1 \) và công sai \( d \) của cấp số cộng \( (u_n) \) biết rằng

Để tính giá trị của biểu thức \( S = 3 - \sin^2 90^\circ + 2\cos^2 60^\circ - 3\tan^2 45^\circ \), ta bắt đầu bằng việc thay thế các giá trị lượng giác:

- \(\sin 90^\circ = 1\) nên \(\sin^2 90^\circ = 1^2 = 1\).
- \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) nên \(\cos^2 60^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
- \(\tan 45^\circ = 1\) nên \(\tan^2 45^\circ = 1^2 = 1\).

Thay vào biểu thức \( S \):

\[
S = 3 - 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} - 3 \cdot 1
\]

Tính từng phần:

\[
S = 3 - 1 + \frac{1}{2} - 3
\]

\[
S = 2 + \frac{1}{2} - 3
\]

\[
S = -1 + \frac{1}{2}
\]

\[
S = -\frac{2}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy giá trị của \( S \) là \(-\frac{1}{2}\).

***

Tiếp theo, đối với cấp số cộng \( (u_n) \):

Ta có:

\[
u_1 + d = 10
\]
\[
u_4 + u_5 = 2b
\]

Mà theo công thức của cấp số cộng, ta có:

\[
u_n = u_1 + (n-1)d
\]

Cụ thể:

\[
u_4 = u_1 + 3d
\]
\[
u_5 = u_1 + 4d
\]

Thay vào phương trình \( u_4 + u_5 = 2b \):

\[
(u_1 + 3d) + (u_1 + 4d) = 2b
\]
\[
2u_1 + 7d = 2b
\]

Từ \( u_1 + d = 10 \), ta có \( d = 10 - u_1 \).

Thay \( d \) vào \( 2u_1 + 7d = 2b \):

\[
2u_1 + 7(10 - u_1) = 2b
\]
\[
2u_1 + 70 - 7u_1 = 2b
\]
\[
-5u_1 + 70 = 2b
\]
\[
5u_1 + 2b = 70
\]

Tại đây cần biết giá trị a và b (các số hạng đầu của cấp số cộng đã cho). Các số hạng đầu là: 11, 16, 21, 26, ...

Như vậy:

\[
u_1 = 11 \quad \text{(ví dụ)}
\]

Tìm \( d \):

\[
d = 16 - 11 = 5
\]

Khi đó:

\[
u_1 + d = 11 + 5 = 16
\]

Giá trị \( u_4 \) và \( u_5 \):

- \( u_4 = 11 + 3 \cdot 5 = 26 \)
- \( u_5 = 11 + 4 \cdot 5 = 31 \)

Và \( 2b = 26 + 31 = 57 \Rightarrow b = \frac{57}{2} \)

Cuối cùng, tính \( a - b \):

Giả sử \( a = 10 \) (cộng với \( u_1 = 11 \)) và \( b = 28.5 \):

\[
a - b = 10 - 28.5 = -18.5
\]

Kết luận, giá trị \( S = -\frac{1}{2} \) và \( a - b = -18.5 \).