Lý thuyết Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay (Tiếp)

4. Mặt trụ tròn xoay.

1. Định nghĩa

   Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Δ và d song song với nhau và cách nhau một khoảng r. Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ được gọi là mặt trụ tròn xoay (hay được gọi tắt là mặt trụ). Đường thẳng Δ được gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và r được gọi là bán kính của mặt trụ.

2. Tính chất

   a) Nếu cắt mặt trụ tròn xoay có bán kính r bởi mặt phẳng (P) vuông góc với Δ ta được phần giao là một đường tròn có tâm thuộc Δ và có bán kính bằng r.

   b) Nếu cắt mặt trụ tròn xoay có bán kính r bởi mặt phẳng (P) không vuông góc với Δ nhưng cắt tất cả đường sinh của mặt trụ ta được phần giao là một đường elip có độ dài trục nhỏ bằng 2r và độ dài trục lớn bằng 2r/sinφ trong đó φ là góc giữa trục Δ và mặt phẳng (P) ( 0^o < φ < 90^o )

   c) Nếu M là một điểm bất kì thuộc mặt trụ có trục Δ và có bán kính r thì đường thẳng l đi qua M và song song với Δ sẽ nằm trên mặt trụ đó và như vậy l là một đường sinh của mặt trụ đã cho.

   d) Nếu cắt mặt trụ tròn xoay có bán kính r bởi mặt phẳng (P) song song với trục Δ và cách Δ một khoảng bằng k. Nếu k < r thì mặt phẳng (P) cắt mặt trụ theo hai đường sinh, nếu k = r thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh, còn nếu k > r thì mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt trụ.

3. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

   Cho hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, ví dụ cạnh AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay (hay được gọi tắt là hình trụ)

   Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ tạo ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, còn cạnh còn lại CD là đường sinh của hình trụ và tạo ra mặt xung quanh của hình trụ. Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy gọi là chiều cao của hình trụ.

   Khối trụ tròn xoay (hay được gọi tắt là khối trụ) là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh của một khối trụ theo thứ tự là mặt đáy, chiều cao, đường sinh của hình trụ tương ứng làm giới hạn cho khối trụ đó.

4. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay.

   - Gọi S_xq là diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng r và có độ dài đường sinh bằng l . Khi đó ta có công thức: S_xq = 2πrl

   - Diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy. Gọi S_tp là diện tích toàn phần của hình trụ. Ta có công thức: S_tp = 2πr(r + l)

5. Thể tích khối trụ tròn xoay

Gọi V là thể tích khối trụ tròn xoay có chiều cao h và có bán kính đáy r. Khi đó ta có công thức: V = πr²h

Chú ý: Trong hình trụ độ dài đường cao bằng đường sinh.

5. Một số chú ý

1. Mặt trụ tròn xoay trục Δ và bán kính r là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cáchΔ một khoảng r.

2. Mặt nón tròn xoay trục Δ, đỉnh O và góc ở đỉnh là 2α ( 0_o < α < 90^o) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian sao cho đường thẳng OM tạo với đường thẳng Δ một góc α

3. Hình nón ngoại tiếp hình chóp là hình nón có đỉnh trùng với đỉnh của hình chóp và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp. Một hình chóp có hình nón ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có các cạnh bên bằng nhau.

4. Hình trụ ngoại tiếp một hình lăng trụ là hình trụ có đáy ngoại tiếp các đa giác đáy của hình lăng trụ. Một lăng trụ có hình trụ ngoại tiếp khi và chỉ khi lăng trụ đó là lăng trụ đứng và có đa giác đáy nội tiếp được đường tròn.