Cho (O) và dây AB của đường tròn O. Trên AB lấy hai điểm E và F sao cho AE = BF. Tia OE và tia OF cắt (O) lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh sđ cung AC = sđ cung BD .

b) Gọi I là điểm chính giữa cung AB.Chứng minh I là điểm chính giữa cung CD.

Lời giải:

a) Chứng minh ΔAEC=ΔBFD(c.g.c)⇒AC=BD⇒cungAC=cungBDΔAEC=ΔBFD(c.g.c)⇒AC=BD⇒cungAC=cungBD.

b) Chứng minh ˆCOI=ˆDOI⇒sdcungCI=sdcungDI⇒cungCI=cungDICOI^=DOI^⇒sdcungCI=sdcungDI⇒cungCI=cungDI

Xét tam giác OAB có OA=OB=R⇒ΔOABOA=OB=R⇒ΔOAB cân tại O ⇒ˆOAB=ˆOBA⇒OAB^=OBA^ (hai góc ở đáy của tam giác cân).

Xét tam giác OAE và tam giác OBF có:

OA=OB=R;ˆOAB=ˆOBA(cmt);AE=BF(gt)⇒ΔOAE=ΔOBF(c.g.c)⇒OE=OFOA=OB=R;OAB^=OBA^(cmt);AE=BF(gt)⇒ΔOAE=ΔOBF(c.g.c)⇒OE=OF

ΔOEFΔOEF cân tại O ⇒ˆOEF=ˆOFE⇒OEF^=OFE^.

Ta lại có: ˆAEC=ˆOEF(dd);ˆBFD=ˆOFE(dd)AEC^=OEF^(dd);BFD^=OFE^(dd)

⇒ˆAEC=ˆBFD⇒AEC^=BFD^

Ta có: OC=OD=R;OE=OF(cmt)OC=OD=R;OE=OF(cmt) ⇒EC=FD⇒EC=FD

Xét tam giác AEC và tam giác BFD có :

AE=BF(gt);ˆAEC=ˆBFD(cmt);EC=FD(cmt)AE=BF(gt);AEC^=BFD^(cmt);EC=FD(cmt)

⇒ΔAEC=ΔBFD(c.g.c)⇒ΔAEC=ΔBFD(c.g.c)

⇒AC=BD⇒AC=BD

⇒cungAC=cungBD⇒cungAC=cungBD (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau).

b) Vì ΔOAE=ΔOBF(cmt)ΔOAE=ΔOBF(cmt)

⇒ˆAOE=ˆBOF(1)⇒AOE^=BOF^(1) (2 góc tương ứng).

Vì I là điểm chính giữa cung AB ⇒cungAI=cungBI⇒cungAI=cungBI ⇒ˆAOI=ˆBOI(2)⇒AOI^=BOI^(2)

Từ (1) và (2) ⇒ˆCOI=ˆDOI⇒COI^=DOI^ ⇒sdcungCI=sdcungDI⇒sdcungCI=sdcungDI ⇒cungCI=cungDI⇒cungCI=cungDI.

Vậy I là điểm chính giữa của cung CD.