câu 2
biến đổi T trở thành:
(x + y + z)^2 -xy - yz - xz + 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x)
= 9/4 -xy - yz - xz + 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x)
xét -xy - yz - xz, áp dụng bdt cô si ta có
xy + yz + xz <= (x + y+ z)^2 /3
suy ra -xy - yz - xz>= - (x + y+ z)^2 /3 = -9/(3.4) = -3/4
áp dụng bdt co si mở rộng: 1/a + 1/b +1/c >= 9/(a + b+ c)
suy ra 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) >= 9/(2.(x+y+z)) = 9/3 = 3
(để chứng minh bdt co si mở rộng trên ta cũng chỉ cần tích chéo, nhân ra rồi áp dụng bdt cosi cho từng cái)
suy ra T >= 9/4 -3/4 + 3 = 9/2
dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1/2

câu 3:
a.
xét hiệu a^3 + b^3 + c^3 -3abc
= (a^3 + b^3 +3a^2.b + 3ab^2)+ c^3 -3abc - 3a^2.b + 3a.b^2
= (a+b)^3 + c^3 -3abc -3ab(a+b)
= (a + b+ c)[(a+b)^2 -c(a+b) + c^2] -3ab(a +b + c)
= (a + b + c)(a^2 + 2ab +b^2 -ac -bc +c^2 -3ab)
= (a + b + c)(a^2 + c^2 +b^2 -ac -bc -ab)
= 1/2 .(a + b +c)(2a^2 + 2c^2 +2b^2 -2ac -2bc -2ab)
= 1/2 .(a + b +c)[(a-b)^2 + (b -c)^2 +(c-a)^2]
vì a, b, c dương suy ra a+b+c > 0
mà (a-b)^2 + (b -c)^2 +(c-a)^2 >= 0 với mọi a, b, c
suy ra a^3 + b^3 + c^3 -3abc>= 0
hay a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc
dấu bằng xảy ra khi chỉ khi a =b =c

bai 1
ap bdt rat quen thuoc (bunya cop)
(a+b)(1/a+1/b)≥4
2.(a^2+b^2) ≥(a+b)^2
....
T≥2^2/2+3/2.4=2+6=8
"=" x+y=2; x=y=>x=y=1

Bài 1

Bài 3