a) Để chứng minh tam giác HAC ~ tam giác ABC, ta cần chứng minh các góc của hai tam giác đó bằng nhau.

Góc A của tam giác ABC là góc vuông, vì tam giác ABC vuông tại A. Góc H của tam giác HAC cũng là góc vuông, vì AH là đường cao của tam giác ABC.

Ta cần chứng minh góc AHC của tam giác HAC bằng góc B của tam giác ABC.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, ta có: Góc BAH = góc CAH (1) (do cùng chắn cung AH trên đường tròn đường kính BC).

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, ta có: Góc BAC = 90° - góc ABC (2) (do tổng các góc trong tam giác bằng 180°).

Từ (1) và (2), ta có: Góc BAC = góc BAH + góc CAH = góc BAH + góc AHC.

Vậy góc AHC của tam giác HAC bằng góc BAC của tam giác ABC.

Tương tự, ta có thể chứng minh góc CAH của tam giác HAC bằng góc ACB của tam giác ABC.

Vậy tam giác HAC ~ tam giác ABC.

b) Để chứng minh tam giác ADI cân, ta cần chứng minh các cạnh và góc của tam giác đó.

Chứng minh cạnh AD = cạnh ID: Vì BD là tia phân giác của tam giác ABC, ta có: Góc BAD = góc CAD (do BD là tia phân giác).

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, ta có: Góc CAB = 90° - góc ABC.

Vậy, ta có: Góc CAD = góc CAB + góc BAD = (90° - góc ABC) + góc BAD.

Tuy nhiên, góc BAD cũng là góc BAC (do BD là tia phân giác), nên: Góc CAD = (90° - góc ABC) + góc BAC.

Nhưng ta đã biết rằng góc BAC = góc ACB (do tam giác ABC là tam giác vuông tại A).

Vậy, ta có: Góc CAD = (90° - góc ABC) + góc ACB.

Vì góc ABC + góc ACB = 90° (do tổng các góc trong tam giác bằng 180°), nên: Góc CAD = 90°.

Từ đó, ta suy ra cạnh AD = cạnh ID (cạnh chung) và góc CAD = góc IDA.

Vậy tam giác ADI là tam giác cân