Để chứng minh rằng tam giác MHK là tam giác vuông cân, ta cần chứng minh rằng MH = MK.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, ta có AM là trung tuyến, do đó AM là đường cao và đồng thời là đường trung bình của tam giác ABC. Khi đó, ta có AM cắt BC tại trung điểm của BC, gọi trung điểm đó là N.

Vì AM là đường trung bình của tam giác ABC, ta có AN = NM.

Do đó, ta có BN = NC (vì trung điểm chia đôi đoạn thẳng).

Vì BH và CK vuông góc với AE, ta có:
∠HBA = ∠KCA = 90°.

Vì BH = CK (vì BN = NC và BH, CK vuông góc với AE), và ∠HBA = ∠KCA = 90°, ta có tam giác BHK và tam giác CKA là hai tam giác vuông cân.

Vì tam giác BHK và tam giác CKA là tam giác vuông cân, ta có:
∠BHK = ∠CKA = 45°.

Vì tam giác BHK và tam giác CKA là tam giác vuông cân, ta có BH = CK.

Ta có: MH = MA - AH = AN - AH (vì AM = AN) = NH.

Tương tự, ta có: MK = MA - AK = AN - AK (vì AM = AN) = NK.

Vì NH = NK và ∠BHK = ∠CKA = 45°, ta có tam giác MHK là tam giác vuông cân với MH = MK.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tam giác MHK là tam giác vuông cân.