Số M được tính bằng tổng các phân số có mẫu số là bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến 2023.

M = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/2023^2

Để kiểm tra xem M có là số tự nhiên hay không, ta có thể tính giá trị của M.

Tính giá trị của M:

M ≈ 1.64493

Kết quả này không phải là một số tự nhiên, mà là một giá trị gần đúng của hằng số toán học được gọi là hằng số Basel (hoặc hằng số Riemann zeta), ký hiệu là ζ(2). Giá trị chính xác của ζ(2) là π^2/6.

Vì vậy, số M không là một số tự nhiên.

Để chứng minh số M=1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/2023^2 không là số tự nhiên, ta có thể sử dụng định lý so sánh trong lý thuyết hàm số để thấy rằng tổng của dãy số này không bằng một số nguyên.

Cụ thể hơn, ta sẽ so sánh tổng của dãy với một tổng Riemann từ hàm f(x) = 1/x^2 từ x = 1 đến x = 2023. Ta có thể thấy rằng 1/n^2 > ∫_n^(n+1) (1/x^2) dx cho mọi n. Điều này có nghĩa là tổng dãy số của chúng ta lớn hơn tổng Riemann tương ứng.

Hơn nữa, ta biết rằng ∫_1^∞ (1/x^2) dx = 1. Điều này có nghĩa là tổng của dãy số của chúng ta lớn hơn 1. 

Cuối cùng, ta cũng biết rằng mỗi phần tử trong dãy số là một số dương nhỏ hơn 1. Do đó, nếu chúng ta thêm một số hữu hạn các số như vậy lại với nhau, ta sẽ không bao giờ được một số nguyên. 

Vậy, số M không thể là một số nguyên.