Để chứng minh các câu trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn và các đường thẳng vuông góc.

a) Chứng minh A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn:
Ta có:
∠AHM = ∠AKM = 90° (do AH và AK là hình chiếu vuông góc của A lên MB và MN)
Vậy tứ giác AHMK là một tứ giác nội tiếp trong đường tròn.
Do đó, A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh AH.AK = HB.MK:
Ta có:
∠AHM = ∠MKH (do tứ giác AHMK là tứ giác nội tiếp)
∠AKM = ∠HKB (do tứ giác AHMK là tứ giác nội tiếp)
Vậy tam giác AHM đồng dạng với tam giác MKH (do có cặp góc tương đương).
Từ đó, ta có: AH/HK = HM/MK (theo tính chất tam giác đồng dạng)
⇒ AH.AK = HB.MK

c) Chứng minh đường thẳng HK luôn qua một điểm cố định khi điểm M di động trên cung nhỏ AC:
Gọi I là trung điểm của AC. Ta có:
∠IMA = ∠IMA = 90° (do AM // MB)
Vậy tứ giác AIMB là một tứ giác nội tiếp.
Do đó, theo tính chất tứ giác nội tiếp, ta có: ∠AMB = ∠IAB (1) và ∠BMA = ∠IBA (2).
Từ (1) và (2), ta có: ∠AMB + ∠BMA = ∠IAB + ∠IBA = 180°.
Vậy tam giác AMB đồng dạng với tam giác AIB (do có tổng các góc bằng 180°).
Từ đó, ta có: AH/AB = HK/IB (theo tính chất tam giác đồng dạng)
⇒ HK = (AH/AB) * IB.
Vì AH/AB là một tỉ số cố định và IB là một độ dài cố định (do IB là đường kính của đường tròn (O)),
nên HK là một độ dài cố định.
Do đó, khi điểm M di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng HK luôn qua một điểm cố định.