a) Ta có AH ⊥ BC nên ΔAIH vuông tại I.
Gọi M là trung điểm BC, ta có AM song song với HD (do AB = AC nên ABHD là hình bình hành) và AM = MH nên A là trung điểm HD.
Do đó, I là trung điểm AH và J là trung điểm DH.
Ta có:
- CI song song với AB nên ∠HCE = ∠HAB = 90° - ∠AHC = ∠HAI
- CH song song với AI nên ∠HCI = ∠AHI
Vậy ΔAIH ∼ ΔHIC (cùng có ∠AIH và ∠HCI vuông và có cặp góc bằng nhau).

b) Ta có:
- ∠AHE = 90° - ∠AHB = 90° - ∠ACB = ∠ABC
- ∠AEC = ∠HDC (do HC || AB) = ∠ABD = ∠ABC
Vậy ∠AHE = ∠AEC.
Do đó, tam giác AHE đồng dạng với tam giác AEC.
Ta có:
- AE là đường trung bình trong tam giác AHD nên AE = ED
- AB = BD (do D là điểm đối xứng của B qua A)
Vậy 2AE = AB.

c) Gọi O là tâm của nửa đường tròn BC.
Ta có:
- ∠ABC = ∠AOC (cùng chắn cung AB trên đường tròn)
- ∠ACB = ∠AOB (cùng chắn cung AC trên đường tròn)
Vậy ∠ABC + ∠ACB = ∠AOC + ∠AOB = 180°.
Do đó, tam giác ABC là tam giác có chu vi lớn nhất khi A nằm trên cung tròn BC không chứa điểm O.