Khi n = 1, ta có:
n.(n + 1)(5n + 1) = 1.(1 + 1)(5.1 + 1) = 6
Vì 6 chia hết cho 6 nên công thức đúng với n = 1.
Giả sử công thức đúng với n = k
Khi n = k + 1, ta có:
(k + 1).(k + 2)(5(k + 1) + 1) = (k + 1)(k + 2)(5k + 6)
= (k + 1)(k + 2)(5k + 1 + 5)
= (k + 1)(k + 2)(5k + 1) + (k + 1)(k + 2).5
Theo giả thiết quy nạp, k.(k + 1)(5k + 1) chia hết cho 6. Vì vậy, ta có thể viết lại công thức trên như sau:
(k + 1)(k + 2)(5k + 1) + 5k(k + 1)(k + 2)
= (k + 1)(k + 2)(5k + 1 + 5k)
= (k + 1)(k + 2)(10k + 1)
Ta thấy rằng (k + 1)(k + 2) là một số chẵn, vì một trong hai số k + 1 hoặc k + 2 phải là số chẵn. Ngoài ra, nếu k chia hết cho 3 thì 5k cũng chia hết cho 3, và nếu k không chia hết cho 3 thì 5k + 1 chia hết cho 3. Vì vậy, (10k + 1) chia hết cho 3.
Từ đó, ta suy ra rằng (k + 1)(k + 2)(10k + 1) chia hết cho 2 x 3 = 6.
Vậy...