Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ đoạn thẳng AB.
- Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M sao cho AM = 1 cm.
- Trên tia đối của tia BA, lấy điểm N sao cho BN = 2 cm.

2. **Xác định vị trí các điểm**:
- Gọi O là điểm ở giữa A và B. Từ O, kéo dài theo chiều ngược lại tới M (AM = 1 cm).
- Tương tự, từ O kéo dài theo chiều ngược lại tới N (BN = 2 cm).

3. **So sánh hai đoạn thẳng BM và AN**:
- Tính độ dài của BM:
- BM = BA + AM = AB + 1 cm.
- Tính độ dài của AN:
- AN = AB + BN = AB + 2 cm.

4. **Kết luận**:
- So sánh hai đoạn thẳng: BM = AB + 1 cm và AN = AB + 2 cm.
- Nhận thấy rằng AN dài hơn BM, cụ thể AN = BM + 1 cm.

Vì vậy, đoạn thẳng AN dài hơn đoạn thẳng BM.