Để chứng minh hệ thức 2/(AD)^2 = 1/(BD)^2 + 1/(DC)^2 trong tam giác ABC, chúng ta sẽ sử dụng định lý phân giác và định lý Pythagoras.

Gọi G là giao điểm của đoạn thẳng BC và phân giác AD.

Theo định lý phân giác, ta có AG chia đoạn thẳng BC thành hai đoạn BD và DC sao cho:

BD/DC = AB/AC

Đồng thời, trong tam giác vuông ABC, ta có định lý Pythagoras:

AB^2 + AC^2 = BC^2

Do tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

AC^2 = BC^2 - AB^2

Thay AC^2 bằng BC^2 - AB^2 trong phương trình của định lý phân giác, ta có:

BC^2 - AB^2 = BD^2/DC^2 × AB^2/AC^2

Tương đương với:

BC^2 × AC^2 - AB^2 × AC^2 = BD^2 × AB^2

Chia cả hai vế của phương trình cho (BD × DC)^2, ta có:

(BC^2 × AC^2)/(BD^2 × DC^2) - (AB^2 × AC^2)/(BD^2 × DC^2) = 1

Điều này có thể viết lại thành:

(BC^2)/(BD^2 × DC^2) - (AB^2)/(BD^2 × DC^2) = 1/(AD^2)

Từ đó, ta có:

(BC^2 - AB^2)/(BD^2 × DC^2) = 1/(AD^2)

Vì BC^2 - AB^2 = AC^2, ta có:

AC^2/(BD^2 × DC^2) = 1/(AD^2)

Kéo theo:

1/(BD^2 × DC^2) = 1/(AD^2)

Đảo nghịch cả hai vế, ta được:

BD^2 × DC^2 = AD^2

Chia cả hai vế cho (AD^2)^2, ta có:

1/(AD^2) = 1/(BD^2) + 1/(DC^2)

Kéo theo:

2/(AD^2) = 1/(BD^2) + 1/(DC^2)

Vậy, ta đã chứng minh được hệ thức 2/(AD^2) = 1/(BD^2) + 1/(DC^2) trong tam giác ABC khi AD là phân giác của góc BAC.