a. Ta có:
$\angle ADC = \angle ADB = \angle BEC$ (do $AD \parallel BE$)
$\angle ACD = \angle ABD = \angle BEC$ (do $AD \parallel BE$)
Vậy tam giác ADC đồng dạng tam giác BEC.

b. Ta có:
$\angle HEB = \angle HCB = \angle HCA = \angle HDA$
Vậy tam giác HEB đồng dạng tam giác HDA.
Do đó, $\frac{HE}{HA} = \frac{HB}{HD}$
Vậy $HE \cdot HB = HA \cdot HD$

c. Ta có:
$\angle ACF = \angle ACH = \angle ABH = \angle ABF$
Vậy tam giác ACF đồng dạng tam giác ABF.
Do đó, $\frac{AF}{AH} = \frac{AB}{AC}$
Vậy $AF \cdot AB = AH \cdot AC$
Nhưng ta có $AC = AD$, nên $AF \cdot AB = AH \cdot AD$

d. Ta có:
$\frac{HD}{HA} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = \frac{HB}{HA} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{AF} = \frac{HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AF}{HA \cdot BE}$
Vậy ta cần chứng minh $HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AF = HA \cdot BE$
Ta có:
$HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AF = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot (AH - HF) = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HF^2 = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - (HA^2 - AF^2) = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HA^2 + AF^2 = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HA^2 + (HA \cdot AB - AH^2) = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HA^2 + HA \cdot AB - AH^2 = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - AH^2 + HA \cdot AB - AH^2 = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - 2AH^2 + HA \cdot AB = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - 2AH^2 + HA \cdot AD = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - 2HA \cdot HD + HA \cdot AD = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HA \cdot (2HD - AD) = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HA \cdot AD + HA \cdot AD = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH = HA \cdot BE$
Vậy $\frac{HD}{HA} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1$