Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Au, Bv với nửa đường tròn

a) Ta có:
- Tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn vì tứ giác nội tiếp nửa đường tròn có tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ.
- CBO = CNO vì chúng là hai góc nội tiếp cùng cung CM.
Vậy tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn và CBO = CNO.

b) Ta có:
- CH vuông góc với AB tại H vì CH là đường cao của tam giác ABC.
- K là giao điểm của CH với AN.
- Ta cần chứng minh ba điểm M, K, B thẳng hàng.
Ta có:
- Góc CHB = 90 độ vì CH vuông góc với AB.
- Góc CBO = CNO vì tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn và CBO = CNO.
- Góc CBO = CBO vì chúng là hai góc nội tiếp cùng cung CM.
Vậy góc CHB = CBO = CNO.
Do đó, ba điểm M, K, B thẳng hàng.

c) Để tính tỉ số S1/S, ta cần tính diện tích của tam giác ABC và tam giác MON.
- Diện tích của tam giác ABC: S = 1/2 * AB * CH = 1/2 * 2R * CH = R * CH.
- Diện tích của tam giác MON: S1 = 1/2 * MO * NO * sin(MON).
Ta biết rằng MO = NO = AM = 1,5R (theo đề bài).
Vậy S1 = 1/2 * 1,5R * 1,5R * sin(MON) = 1,125R^2 * sin(MON).
Từ đó, tỉ số S1/S = (1,125R^2 * sin(MON)) / (R * CH) = 1,125 * (R * sin(MON)) / CH.
Để tính tỉ số này, ta cần biết giá trị của R * sin(MON) và CH. Tuy nhiên, không có đủ thông tin trong đề bài để tính được giá trị này.