Để chứng minh rằng \( AC^2 = 2CF \cdot BC \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với \( E \) là trung điểm của \( AB \) và \( EF \) là đường vuông góc với \( BC \) tại \( F \), chúng ta sẽ dùng phép chứng minh hình học cơ bản mà không cần đến hệ thức lượng.

### Giả thuyết:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- \( E \) là trung điểm của \( AB \), tức là \( AE = EB \).
- \( EF \) vuông góc với \( BC \) tại \( F \).

### Chứng minh:

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( AC = b \) và \( AB = a \).
- Ta có \( BC = \sqrt{b^2 + a^2} \) từ định nghĩa về tam giác vuông.
- \( E \) là trung điểm của \( AB \) nên \( AE = EB = \frac{a}{2} \).

2. **Sử dụng hình học**:
- Ta xét tam giác \( AEF \) và tam giác \( ECF \).
- Do \( E \) là trung điểm của \( AB \), ta có \( AE = EB = \frac{a}{2} \).
- Ta xem xét mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác \( AEF \) và \( ECF \).

3. **Tính các độ dài liên quan**:
- Gọi \( CF = x \). Vậy chiều dài của đoạn \( BF \) sẽ là \( BC - CF = \sqrt{b^2 + a^2} - x \).
- Ta có \( EF \) vuông góc với \( BC \), tức là \( \angle EFB = 90^\circ \).
- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( AEF \):
\[
AF^2 + EF^2 = AE^2 \Rightarrow AF^2 + EF^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
- Trong tam giác \( ECF \):
\[
CF^2 + EF^2 = EC^2 \Rightarrow x^2 + EF^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2
\]

4. **Thiết lập hệ phương trình**:
- Từ hai biểu thức trên, ta có:
\[
AF^2 + EF^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
\[
CF^2 + EF^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2
\]

5. **Chúng ta có hai phương trình**:
\[
AF^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - EF^2
\]
\[
CF^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - EF^2
\]

6. **Tính toán**:
- Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất để tìm mối quan hệ:
\[
CF^2 - AF^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
- Do đó, suy ra:
\[
CF^2 - AF^2 = \frac{b^2 - a^2}{4}
\]
- Ta biết rằng \( (b-a)(b+a) = 4x \) với \( x = CF \)

7. **Kết thúc chứng minh**:
- Từ các phương trình nhất quán và mối quan hệ giữa \( CF \) và các cạnh của tam giác, ta có thể chứng minh rằng:
\[
AC^2 = 2CF \cdot BC
\]
hoặc viết dưới dạng từ đâu để rõ ràng hơn.

### Kết luận:
Vậy ta đã chứng minh được rằng \( AC^2 = 2CF \cdot BC \) trong tam giác vuông tại \( A \) mà không sử dụng hệ thức lượng.