Để x + √2009 thuộc Z, ta cần x + √2009 là một số nguyên. Tức là x = -√2009 + k, với k là một số nguyên.

Để 16/x + √2009 thuộc Z, ta cần 16/(x + √2009) là một số nguyên. Tức là 16/(√2009 - k) là một số nguyên.

Ta có thể viết lại 16/(√2009 - k) = 16(√2009 + k)/(2009 - k^2) là một số nguyên.

Điều này có nghĩa là (2009 - k^2) chia hết cho 16. Ta kiểm tra các giá trị k từ -√2009 đến √2009 để tìm các giá trị hợp lệ.

Khi k = -√2009, ta có (2009 - (-√2009)^2) = 2009 - 2009 = 0, không chia hết cho 16.

Khi k = -√2009 + 1, ta có (2009 - (-√2009 + 1)^2) = 2009 - 2009 + 2√2009 - 1 = 2√2009 - 1, không chia hết cho 16.

Tiếp tục kiểm tra các giá trị k khác, ta thấy khi k = √2009 - 1, ta có (2009 - (√2009 - 1)^2) = 2009 - 2009 + 2√2009 - 1 = 2√2009 - 1, cũng không chia hết cho 16.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng không tồn tại giá trị x thuộc R để x + √2009 và 16/x + √2009 đồng thời thuộc Z.