Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Lấy điểm M thuộc dây MN vuông góc với AB tại T. Dựng thẳng AN cắt BM tại D

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một:

### a) Chứng minh bốn điểm \(A, M, C, K\) cùng thuộc một đường tròn

1. **Xét bốn điểm:**
- Với điểm \(M\) trên dây \(MN\), dây \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại \(T\), từ đó suy ra góc \(\angle AMB = 90^\circ\).
- Theo định lý đường tròn, nếu \(MA\) và \(MB\) là hai dây vuông góc tại \(M\) thì bốn điểm \(A, M, C, K\) nằm trên cùng một đường tròn có đường kính \(AB\).

### b) Chứng minh \(BK\) là tia phân giác của góc \(MBN\)

1. **Xét tam giác \(MBN\)**:
- Từ giả thiết, \(AN\) cắt \(BM\) tại \(C\) và đường thẳng qua \(C\) vuông góc với \(AB\) tại \(K\).
- Đường thẳng \(BK\) là đường vuông góc với \(AB\), và do đó, nó chia góc \(\angle MBN\) thành hai góc bằng nhau.

### c) Chứng minh tam giác \(KMC\) cân và \(KM\) là tiếp tuyến của \(O\)

1. **Xét tam giác \(KMC\)**:
- Điểm \(K\) nằm trên đường tròn \(O\), và từ tính chất tam giác cân cùng với đường vuông góc, ta có \(MK = MC\).
- Hơn nữa, \(KM\) vuông góc với bán kính \(OC\) tại \(K\), từ đó suy ra \(KM\) là tiếp tuyến tại \(K\).

### d) Tìm vị trí của điểm \(M\) trên \(O\) để tứ giác \(MNKC\) là hình thoi

1. **Điều kiện hình thoi**:
- Để tứ giác \(MNKC\) là hình thoi, cần hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau. Điều này xảy ra khi \(M\) di chuyển trên đường tròn \(O\) sao cho chiều dài các cạnh \(MN\) và \(KC\), cũng như \(NK\) và \(MC\) đều bằng nhau.

2. **Áp dụng tính chất**:
- Khi \(M\) di chuyển sao cho các cạnh này đều cân, \(MNKC\) sẽ trở thành hình thoi.

### Kết luận
Qua các phần trên, chúng ta thấy rõ tính chất hình học của đường tròn và các tam giác liên quan, từ đó đưa ra các chứng minh cần thiết. Bạn có thể áp dụng các định lý Euclid, và định lý đường tròn để hoàn thiện các bước chứng minh.