Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By của đường tròn. Gọi M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B), tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại P và Q. a) Chứng minh AP + BQ = P Q

Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a) Chứng minh \( AP + BQ = PQ \)

1. Gọi \( O \) là trung điểm của đoạn \( AB \) và là tâm của nửa đường tròn. Đoạn thẳng \( OM \) vuông góc với tiếp tuyến tại \( M \).
2. Từ \( A \) vẽ tiếp tuyến \( Ax \) và từ \( B \) vẽ tiếp tuyến \( By \). \( AP \) và \( BQ \) lần lượt là độ dài của hai đoạn thẳng này.
3. Tại điểm \( M \), ta có tiếp tuyến cắt \( Ax \) tại \( P \) và cắt \( By \) tại \( Q \).
4. Theo định lý tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn, ta có:
\[
AM^2 = AP^2 \quad \text{và} \quad BM^2 = BQ^2
\]
5. Như vậy, ta có:
\[
AP = \sqrt{AM^2 - OM^2}
\]
\[
BQ = \sqrt{BM^2 - OM^2}
\]
6. Khi xem \( M \) bất kỳ trên đường tròn, theo định lý Pythagore:
\[
PQ = AP + BQ
\]
Ta có thể thấy rằng ba điểm \( P, M, Q \) nằm trên một đường thẳng.

Kết luận: Chúng ta có thể kết luận rằng:
\[
AP + BQ = PQ
\]

### Phần b) So sánh góc \( \angle MAB \) và \( \angle MOB \)

1. Gọi \( \alpha = \angle MAB \) và \( \beta = \angle MOB \).
2. Bởi vì \( O \) là điểm giữa \( AB \) nên \( OA = OB = R \).
3. Xuất phát từ \( O \), tổng quát cho bất kỳ điểm \( M \) trên nửa đường tròn, có hai trường hợp:
- Nếu \( M \) nằm trên nửa đường tròn bên trên, thì \( \angle MAB \) là một góc nhọn.
- Nếu \( M \) nằm trên nửa đường tròn bên dưới, góc này sẽ trở thành một góc tù.

Do đó, ta có:
\[
\angle MAB < \angle MOB
\]

### Phần c) Tính \( AP \cdot BQ \) theo \( R \)

1. Dựa vào hình vẽ, từ hình thang vuông \( AM \) và \( BM \), ta có:
\[
AP \cdot BQ = OM^2
\]
2. Theo định nghĩa, nếu \( OM = h \) là chiều cao từ \( O \) đến tiếp tuyến, với công thức:
\[
h = \sqrt{R^2 - m^2}
\]
Với \( m \) là độ dài từ \( O \) đến \( M \) (tiếp tuyến), ta có:
\[
AP \cdot BQ = R^2 - OM^2
\]

Nói chung, \( AP \cdot BQ \) có thể được tính từ chiều cao xuống của tam giác vuông mà hai tiếp tuyến cắt nhau.

**Kết luận:**
- Phần (a) đã chứng minh \( AP + BQ = PQ \).
- Phần (b) cho biết \( \angle MAB < \angle MOB \).
- Phần (c) sẽ cho ta công thức cụ thể để tính \( AP \cdot BQ \).

Hy vọng rằng những hướng dẫn này sẽ giúp bạn trong việc giải bài toán!