Bài 1:
Ta có tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD, đường cao AH.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
AB² = AD² + BD²
AC² = AD² + DC²
Với BD = 15cm và DC = 20cm, ta có:
AB² = AD² + 15²
AC² = AD² + 20²
Từ đó, ta có hệ phương trình:
AB² = AD² + 225
AC² = AD² + 400
Trừ hai phương trình trên ta được:
AC² - AB² = 175
(AC + AB)(AC - AB) = 175
Vì AC > AB nên ta có:
AC + AB = 25
AC - AB = 7
Giải hệ phương trình ta được:
AC = 16cm
AB = 9cm
Từ đó, ta có:
AH = AC - HC = 16 - 9 = 7cm
AD = AB + BD = 9 + 15 = 24cm

Bài 2:
Ta có tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD, đường cao AH.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
AB² = AD² + BD²
AC² = AD² + DC²
Với AB = 12cm và AC = 16cm, ta có:
12² = AD² + BD²
16² = AD² + DC²
Từ đó, ta có hệ phương trình:
AD² + BD² = 144
AD² + DC² = 256
Cộng hai phương trình trên ta được:
2AD² + BD² + DC² = 400
2AD² + 15² + 20² = 400
2AD² = 400 - 225 - 400
2AD² = 175
AD² = 87.5
AD ≈ 9.35cm
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
HD = AD/2 = 9.35/2 ≈ 4.68cm
HB = AB/2 = 12/2 = 6cm
HC = AC/2 = 16/2 = 8cm