Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC . Gọi I là trung điểm của AB, K là điểm đối xứng của A qua H . Chứng minh : CI vuông góc với KF

Ta có tam giác ABC vuông tại A, do đó AH là đường cao của tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm của AC.

Vì I là trung điểm của AB nên AI = IB.

Vì K là điểm đối xứng của A qua H nên HK = KA.

Ta có:

AH ⊥ BC (do AH là đường cao)

HF ⊥ AC (do F là hình chiếu của H lên AC)

HK ⊥ AB (do K là điểm đối xứng của A qua H)

Vì HK = KA nên tam giác KAH cân tại K.

Vì HF ⊥ AC nên tam giác HAF vuông tại F.

Vì AH ⊥ BC nên tam giác HAB vuông tại A.

Vì AI = IB nên tam giác AIB cân tại I.

Vì tam giác HAF vuông tại F và tam giác AIB cân tại I nên góc HAF = góc IAB.

Vì tam giác HAB vuông tại A nên góc HAB = 90° - góc IAB.

Vì góc HAF = góc HAB - góc FAB nên góc HAF = (90° - góc IAB) - góc FAB.

Vì tam giác KAH cân tại K nên góc KAH = góc KHA.

Vì tam giác HAF vuông tại F nên góc HFA = 90° - góc HAF.

Vì tam giác KAH cân tại K nên góc KAH = góc KHA.

Vì góc HFA = góc HAF - góc HFA nên góc HFA = (90° - góc HAF) - góc HFA.

Vì góc HAF = (90° - góc IAB) - góc FAB và góc HFA = (90° - góc HAF) - góc HFA nên

(90° - góc IAB) - góc FAB = (90° - (90° - góc HAF) - góc HFA).

Simplifying the equation, we get:

(90° - góc IAB) - góc FAB = (90° - (90° - góc HAF) - góc HFA).

90° - góc IAB - góc FAB = 90° - 90° + góc HAF + góc HFA.

90° - góc IAB - góc FAB = góc HAF + góc HFA.

Vì góc HAF + góc HFA = góc KHA + góc KAH = 180° (do tổng hai góc bằng 180°) nên

90° - góc IAB - góc FAB = 180°.

90° - góc IAB = 180° + góc FAB.

góc IAB = 90° - góc FAB.

Vì góc IAB = 90° - góc FAB nên góc IAB + góc FAB = 90°.

Vì góc IAB + góc FAB = 90° nên CI ⊥ KF.

Vậy CI vuông góc với KF.