Để chứng minh những điều đã nêu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a: Chứng minh tam giác ABC vuông

Gọi \(O\) là tâm của đường tròn và \(R\) là bán kính. Xét các điểm \(A\), \(B\), \(C\) như đã nêu trong đề bài, với \(AB\) là đường kính.

Theo tính chất của đường tròn, nếu \(A\) và \(B\) là hai điểm trên đường tròn và \(C\) là một điểm thuộc đường tròn, thì tam giác \(ABC\) sẽ vuông tại \(C\) nếu \(AB\) là đường kính. Điều này đúng là đúng theo định lý đường kính:

Nghĩa là, nếu \(C\) nằm trên đường tròn có \(AB\) là đường kính, thì góc \(\angle ACB = 90^\circ\).

### Phần b: Chứng minh OD vuông góc với AC

Để chứng minh \(OD\) vuông góc với \(AC\), ta bắt đầu bằng cách nhớ định nghĩa của tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn.

1. **Xét tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại C**:
- Gọi \(DA\) là tiếp tuyến tại \(A\).
- Gọi \(DC\) là tiếp tuyến tại \(C\).

2. **Tính chất tiếp tuyến**:
- Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm đó. Nghĩa là:
\[
OA \perp DA \quad \text{và} \quad OC \perp DC.
\]

3. **Tính chất điểm D**:
- Điểm \(D\) là giao điểm của hai tiếp tuyến \(DA\) và \(DC\).

4. **Tam giác OAD và OAC**:
- Từ các tính chất trên, ta có:
- \(\angle OAD = 90^\circ\)
- \(\angle OAC = 90^\circ\)

5. **Chứng minh \(OD\) vuông góc với \(AC\)**:
- Ta có:
- \(\angle OAC + \angle DAC = 90^\circ\) (vì \(OA\) và \(OC\) lần lượt vuông góc với các tiếp tuyến tại \(A\) và \(C\)).
- Do đó, \(OD\) chính là đường vuông góc từ \(O\) tới \(AC\).

Kết luận là, \(OD \perp AC\).

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) và đường thẳng \(OD\) vuông góc với \(AC\).