Để chứng minh BDFE là hình bình hành, ta cần chứng minh hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của chúng.

Ta có:
- Đường trung tuyến AE cắt đường cao AH tại trung điểm M của cạnh BC (do tam giác ABC vuông tại A).
- Do đó, AM là đường cao của tam giác ABC và cắt BC thành hai đoạn BM và MC có độ dài bằng nhau.
- Vì AE là đường trung tuyến, nên AM = ME.
- Ta có hai tam giác đồng dạng AME và ADF (cùng có góc vuông tại A), nên tỉ số đồng dạng AM/AD = ME/DF.
- Vì AM = ME, nên tỉ số đồng dạng AM/AD = 1/DF.
- Từ đó suy ra DF = AD.

Vậy, ta có BD = DF và EF = AD, nên BDFE là hình bình hành.

Để chứng minh DFEH là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của hình thang DFEH bằng nhau.

Ta có:
- BDFE là hình bình hành, nên BD = EF.
- Ta đã chứng minh DF = AD.
- Vậy, ta có BD = EF = DF = AD.

Vậy, DFEH là hình thang cân.