Để chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn:
- Ta có góc BIC là góc nội tiếp của tam giác ABC, nên góc BIC = 180° - góc BAC (1)
- Ta có góc BKC là góc ngoại tiếp của tam giác ABC, nên góc BKC = 180° - góc BAC (2)
- Từ (1) và (2), suy ra góc BIC = góc BKC
- Vậy ta có thể kết luận B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.

2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O):
- Ta có O là trung điểm của IK, nên IO = OK
- Ta có góc BIC = góc BKC (vì B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn)
- Vậy ta có tam giác BIC và tam giác BKC là hai tam giác đồng dạng (cạnh chung BC và góc BIC = góc BKC)
- Từ đó, ta có IO/IB = OK/KB (theo định lý đồng dạng tam giác)
- Nhưng IO = OK, nên ta có IB = KB
- Vậy ta có tam giác BIC là tam giác cân (IB = IC)
- Do đó, ta có góc BCI = góc CBI
- Nhưng góc BCI = góc BAC (vì AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
- Vậy ta có góc CBI = góc BAC
- Từ đó, ta có tam giác ABC là tam giác cân (AB = AC)
- Vậy ta có AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Vậy, ta đã chứng minh được B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).