a) Ta có AC = R và AH vuông góc AB nên tam giác ACH vuông tại A. Do đó, A, H, C cùng thuộc một đường tròn đường kính AC.

b) Ta có AH vuông góc AB và EH vuông góc AB nên AH // EH. Từ đó, ta có DHE = DHA = 90°.

Vì A, H, C cùng thuộc một đường tròn nên DHE = DCA.

Ta có DH cắt (O;R) tại F nên DF = FH = R. Vì AC = R nên AD // CF.

Do đó, ta có DHE = DCA = DCF.

c) Ta có DHE = DCF và DHE = DHA = 90° nên DCF = DHA = 90°.

Vì DCF = DHA = 90° nên tam giác BCF là tam giác vuông tại F.

Vì DCF = DHA = 90° nên tam giác BCF là tam giác cân tại F.

Vì DCF = DHA = 90° nên tam giác BCF là tam giác đều.

d) Để chu vi tứ giác ABDC đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm vị trí của D trên cung nhỏ BC sao cho chu vi của tam giác ABDC đạt giá trị lớn nhất.

Gọi x là độ dài cung BC. Khi đó, độ dài cung BD là R - x.

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác ABDC, ta có:

AB * CD + BC * AD = AC * BD

R * CD + x * R = R * R

CD + x = R

CD = R - x

Vậy, để chu vi của tam giác ABDC đạt giá trị lớn nhất, ta cần chọn D sao cho CD đạt giá trị lớn nhất. Từ đó, ta có x = 0 và D trùng với B.

Vậy, vị trí của D trên cung nhỏ BC để chu vi tứ giác ABDC đạt giá trị lớn nhất là khi D trùng với B.