a) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AM = MC = 4 cm.
Vì AD là đường đối xứng của AM qua M, nên AD = AM = 4 cm.
Vì AB = CD = 6 cm và AD = BC = 4 cm, nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Đường chéo AD là đường nối hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật ABCD, nên độ dài đường chéo AD là AC = 8 cm.

b) Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Ta cần chứng minh AK // DH.
Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AH là đường cao của tam giác ABC.
Vì ABCD là hình chữ nhật, nên DH là đường cao của tam giác ACD.
Vì AH // DH và AK là đường cao của tam giác ACD, nên AK // DH.

c) Gọi E là điểm đối xứng của A qua BC.
Ta cần chứng minh BCDE là hình thang cân.
Vì A là điểm đối xứng của D qua M, nên E là điểm đối xứng của D qua BC.
Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AB // CD và AB = CD.
Vì A là điểm đối xứng của D qua M, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vì E là điểm đối xứng của D qua BC, nên EM là đường trung tuyến của tam giác BCD.
Vì AB // CD và AM = EM, nên tam giác ABM và tam giác CEM là tam giác đồng dạng.
Vì AB = CD, nên AM = EM.
Vì AB // CD và AM = EM, nên tam giác ABM và tam giác CEM là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác ABM và tam giác CEM là tam giác đồng dạng, nên tam giác BME và tam giác CDM là tam giác đồng dạng.
Vì BM // CD và BM = CD, nên tam giác BME và tam giác CDM là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác BME và tam giác CDM là tam giác đồng dạng, nên BCDE là hình thang cân.