Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I, K, L lần lượt là trung điểm AB, BC, CA

Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác cân và hình thoi.

a) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AI là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vì I là trung điểm của AB nên ta có AI = IB. Tương tự, ta có IC = KC. Vậy ta có AI = IB = KC = IC. Do đó, tứ giác BILC là hình thang cân.

b) Ta đã chứng minh trong phần a rằng tứ giác BILC là hình thang cân. Vì tứ giác BILC là hình thang cân nên ta có BI // LC. Ta cũng có AI // LK vì AI là đường trung tuyến của tam giác ABC và LK là đường chéo của hình thoi AIKL. Vậy ta có AI // LK và BI // LC. Từ đó, ta suy ra AIKL là hình thoi.

c) Gọi M là trung điểm của KL. Ta cần chứng minh tam giác LIH vuông.

Vì AIKL là hình thoi nên AI // LK và AI = LK. Mà H là điểm đối xứng của L qua K nên KH = KL.

Do đó, tam giác KHL là tam giác cân tại K. Vậy ta có KM là đường trung tuyến của tam giác KHL.

Vì KM là đường trung tuyến của tam giác KHL nên KM cắt HL tại điểm N sao cho KN = NM.

Ta có AI // LK và AI = LK, nên ta có tam giác AIL và tam giác KIL đồng dạng. Từ đó, ta có AI/IL = LK/KI.

Vì tam giác KHL là tam giác cân tại K nên KL = KH. Từ đó, ta có KL/KH = 1.

Vậy ta có AI/IL = KL/KH = 1.

Do đó, ta có tam giác AIL và tam giác KHL đồng dạng theo nguyên lý đồng dạng góc.

Từ đó, ta có góc LIH = góc LKH = góc LKN = góc LHN.

Vậy ta có tam giác LIH vuông tại H.