Cho tam giác ABE vuông tại A (AB < AE), đường trung tuyến AM. Gọi C là điểm đối xứng với A qua M. Tứ giác ABCE là hình gì? Vì sao?

Để giải bài toán về tứ giác ABCE và tứ giác ADCM, chúng ta sẽ phân tích từng phần.

### 1) Tứ giác ABCE là hình gì?
Tứ giác ABCE là hình thoi. Lý do:
- Trong tam giác ABE vuông tại A, AM là đường trung tuyến.
- C là điểm đối xứng của A qua M, nên MC = MA.
- Vì AB < AE, nghĩa là M nằm giữa A và B (theo định nghĩa của đường trung tuyến).
- Do đó, AB = EC (vì AM là trung tuyến) và AE = BC.

Từ những điều này, ta thấy ABCE có các cặp cạnh đối diện bằng nhau. Vậy, ABCE là hình thoi.

### 2) Tính diện tích tứ giác ABCE
Để tính diện tích tứ giác ABCE, ta có thể chia nó thành hai tam giác: △ABE và △CBE.

- Diện tích của tam giác ABE:
\[
S_{ABE} = \frac{1}{2} \times AB \times AE
\]

- Diện tích của tam giác CBE:
- Có thể tính diện tích bằng diện tích tam giác ABE do tính chất đối xứng, nên:
\[
S_{CBE} = S_{ABE}
\]

Vì vậy, diện tích tổng của tứ giác ABCE là:
\[
S_{ABCE} = S_{ABE} + S_{CBE} = 2 \times S_{ABE}
\]

### 3) Tứ giác ADCM có đặc điểm gì?
Tứ giác ADCM là hình chữ nhật. Lý do:
- Đường AM là trung tuyến.
- C là điểm đối xứng của A qua M, do đó AC = MA.
- Đồng thời, AD vuông góc với AE (vì ABE là tam giác vuông tại A).

Vì các cạnh thuộc hai cặp bằng nhau và có các góc vuông, tứ giác ADCM sẽ là hình chữ nhật.

### Kết luận
- **Tứ giác ABCE là hình thoi.**
- **Tứ giác ADCM là hình chữ nhật.**