a) Chứng minh Tam giác ABC đồng dạng với Tam giác HDC: Góc B là góc vuông tại A trong Tam giác ABC, và góc H là góc vuông tại D trong Tam giác HDC.

Đường phân giác BD chia góc ABC thành hai góc bằng nhau, nên góc ABD = góc CBD. Tương tự, đường thẳng vuông góc với BC tại H chia góc DHC thành hai góc bằng nhau, nên góc DHB = góc HCB.

Vì góc ABD = góc CBD và góc DHB = góc HCB, nên theo tiêu chuẩn đồng dạng, Tam giác ABC đồng dạng với Tam giác HDC.

b) Tính DC và diện tích của tam giác HDC: Theo định lí đường phân giác, ta có BD chia AC thành hai đoạn có tỷ lệ bằng nhau, nên AD/DC = AB/BC.

Trong Tam giác ABC, ta biết AB = 6cm và BC = 10cm. Vì AD = AC - CD, ta có AD = AC - DC.

Áp dụng tỷ lệ AD/DC = AB/BC, ta có (AC - DC)/DC = 6/10.

Giải phương trình trên, ta có AC/DC - 1 = 6/10.

Với AC/DC = x (giả sử), ta có x - 1 = 6/10.

Simplifying: x - 1 = 3/5.

Từ đó, ta có x = 8/5.

Vậy, AC/DC = 8/5, hoặc DC = 5/8 AC.

Để tính diện tích của tam giác HDC, ta sử dụng công thức diện tích tam giác: Diện tích = 1/2 * cạnh góc vuông * cạnh góc vuông.

Diện tích tam giác HDC = 1/2 * DC * HC = 1/2 * (5/8 AC) * HC = 5/16 AC * HC.

c) Chứng minh M, N, H thẳng hàng: Theo định lí song song, vì BE || AC, nên ta có BM/ME = BN/ND.

Vì M và N lần lượt là trung điểm của BE và DC, ta có BM = ME và BN = ND.

Do đó, BM/ME = 1 và BN/ND = 1.

Vậy, ta có BM = ME và BN = ND, nên M, N, H thẳng hàng theo định lí trung điểm.