Để chứng minh rằng a^3 - 19a chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng a^3 - 19a là một bội của 6.

Ta có thể viết lại a^3 - 19a thành a(a^2 - 19).

Để chứng minh rằng a^3 - 19a chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng cả a và (a^2 - 19) đều chia hết cho 2 và 3.

1. Chứng minh a chia hết cho 2:
Nếu a là số chẵn, thì a chia hết cho 2.
Nếu a là số lẻ, thì a có thể viết dưới dạng a = 2k + 1, với k là một số nguyên. Khi đó:
a^3 - 19a = (2k + 1)^3 - 19(2k + 1)
= 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 - 38k - 19
= 8k^3 + 12k^2 - 32k - 18
= 2(4k^3 + 6k^2 - 16k - 9)
Vì 4k^3 + 6k^2 - 16k - 9 là một số lẻ, nên a^3 - 19a không chia hết cho 2.

2. Chứng minh a chia hết cho 3:
Nếu a chia hết cho 3, thì a chia hết cho 3.
Nếu a không chia hết cho 3, thì a có thể viết dưới dạng a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2, với k là một số nguyên. Khi đó:
a^3 - 19a = (3k + 1)^3 - 19(3k + 1) hoặc (3k + 2)^3 - 19(3k + 2)
= 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 - 57k - 19 hoặc 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 - 57k - 38
= 27k^3 + 27k^2 - 48k - 18 hoặc 27k^3 + 54k^2 - 21k - 30
= 3(9k^3 + 9k^2 - 16k - 6) hoặc 3(9k^3 + 18k^2 - 7k - 10)
Vì 9k^3 + 9k^2 - 16k - 6 và 9k^3 + 18k^2 - 7k - 10 đều chia hết cho 3, nên a^3 - 19a chia hết cho 3.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng a^3 - 19a chia hết cho cả 2 và 3, do đó nó chia hết cho 6.