Để chứng minh ADCH là hình vuông, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:
1. AD = CH
2. AD ⊥ CH

1. Ta có hình bình hành ABHD, nên AD = BH.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Do đó, AH = HB.
Vậy, AD = BH = AH = CH.
Do đó, ta có AD = CH.

2. Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, nên AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Do đó, AH ⊥ BC.
Vì ABHD là hình bình hành, nên AB // HD.
Vậy, AH ⊥ HD.
Vì AH ⊥ HD và AH ⊥ BC, nên HD ⊥ BC.
Vậy, ta có AD ⊥ CH.

Vì đã chứng minh được cả hai điều kiện trên, nên ta kết luận ADCH là hình vuông.