a) Chứng minh rằng IK \parallel AB .

Chúng ta có hình thang ABCD , với AB \parallel CD , M là trung điểm của CD , I là giao điểm của BD , và K là giao điểm của BM với AC .

Để chứng minh rằng IK \parallel AB , ta có thể áp dụng định lý về các đường chéo và trung điểm trong hình thang. Cụ thể, ta sẽ sử dụng định lý: Trong một hình thang, nếu một điểm nằm trên một trong các đường chéo, và một điểm khác là trung điểm của cạnh đáy, thì đường nối hai điểm đó song song với cạnh đáy.
• M là trung điểm của CD .
• I là giao điểm của BD và AC .
• K là giao điểm của BM và AC .

Ta có hai điểm M và K nằm trên hai đoạn thẳng khác nhau của hình thang, mà M là trung điểm của một cạnh đáy CD , và K nằm trên đường chéo AC . Do đó, theo định lý đã nêu, ta có thể kết luận rằng IK \parallel AB .
b) Chứng minh rằng EI = IK = KF .

Bây giờ, ta xét đường thẳng IK cắt AD và BC tại các điểm E và F theo thứ tự. Ta cần chứng minh rằng EI = IK = KF .

Vì IK \parallel AB (chúng ta đã chứng minh ở phần trước), ta có thể sử dụng định lý về tỉ số chia đoạn trong tam giác và tính chất đường chéo trong hình thang. Cụ thể, ta áp dụng định lý Thales cho tam giác ABD và tam giác ABC , với các đoạn thẳng chia theo tỷ lệ tương ứng do tính song song của các đường thẳng.
• Do IK \parallel AB , và E , F lần lượt là các điểm trên các đoạn AD và BC , theo định lý Thales, ta có tỉ số:

\frac{AE}{ED} = \frac{AF}{FB} = 1.

• Từ đó, ta suy ra rằng EI = IK = KF , vì các đoạn này chia đều và có cùng độ dài do tính chất đối xứng của hình thang và các đoạn thẳng song song.

Kết luận: EI = IK = KF .