Để chứng minh tứ giác AHCD là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai đường chéo AH và CD cắt nhau vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của chúng.

Gọi E là giao điểm của AH và CD. Ta cần chứng minh AE = EH và AD = DC.

Vì I là trung điểm của AC, ta có AI = IC. Vì tam giác AHI và tam giác IDH là tam giác cân (AH = IH và IH = ID), nên ta có AI = IH = ID = IC. Do đó, tứ giác AHCD là hình bình hành.

Ta cần chứng minh AE = EH. Ta có:

AH // CD (do AH và CD là hai đường chéo của hình bình hành AHCD)
AI // HD (do AI và HD là hai đường cao của tam giác AHI)
Vậy, ta có tứ giác AIDE là hình bình hành.

Do đó, ta có AE = ID và EH = AI. Nhưng AI = ID (vì I là trung điểm của AC), nên ta có AE = EH.

Từ đó, ta có AE = EH và AD = DC, nên tứ giác AHCD là hình chữ nhật.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tứ giác AHCD là hình chữ nhật.