Để chứng minh AEDF là hình bình hành, ta cần chứng minh hai đường chéo AC và DF cắt nhau ở trung điểm của chúng.

Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB. Tương tự, F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Ta có:
AE = EB
AF = FC
=> AE = AF và EB = FC

Vậy, theo tính chất của hình bình hành, ta có AEDF là hình bình hành.

Để chứng minh DE = BF, ta cần chứng minh hai tam giác ADE và BFC đồng dạng.

Ta có:
ADE là tam giác có hai cạnh AD và AE bằng nhau.
BFC là tam giác có hai cạnh BC và BF bằng nhau.

Vì AE = BF (vì E và F là trung điểm của AB và BC), nên ta có thể kết luận rằng hai tam giác ADE và BFC đồng dạng.

Vậy, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có DE = BF.

Để chứng minh AC, BD và EF đồng quy, ta cần chứng minh tứ giác ABDC là tứ giác điều hòa.

Ta có:
E là trung điểm của AB nên AE = EB.
F là trung điểm của BC nên CF = FB.

Vì AE = EB và CF = FB, nên ta có tứ giác ABDC là tứ giác điều hòa.

Vậy, theo tính chất của tứ giác điều hòa, ta có AC, BD và EF đồng quy.