a) Ta có BF là đường cao của tam giác ABC nên BF vuông góc với AC tại F. Tương tự, CE là đường cao của tam giác ABC nên CE vuông góc với AB tại E. Do đó, BF và CE cắt nhau tại H. Ta có BF ⊥ AC và CE ⊥ AB nên BF ⊥ CE. Vậy B, E, C, F cùng thuộc một đường tròn.

b) Vì B, E, C, F cùng thuộc một đường tròn nên góc BFC = góc BEC (cùng nằm trên cung BF). Tương tự, góc BCF = góc BAC (cùng nằm trên cung BC). Do đó, góc BFC + góc BCF = góc BEC + góc BAC = 180°. Ta có góc BFC + góc BCF = 180° nên BF // AC.

Vì BF // AC và BF ⊥ AC nên BF ⊥ BD (do BD là đường cao của tam giác ABC). Tương tự, CE ⊥ CH. Do đó, BD // CH.

Vì BF // AC và BF ⊥ AC nên BF ⊥ AD (do AD là đường chéo của hình chữ nhật ABCD). Tương tự, CE ⊥ AD. Do đó, AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì BF // AC và BF ⊥ AC nên BF ⊥ AI (do AI là đường trung trực của BC). Tương tự, CE ⊥ AI. Do đó, AI là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì BF // AC và BF ⊥ AC nên BF ⊥ AH (do AH là đường cao của tam giác ABC). Tương tự, CE ⊥ AH. Do đó, AH là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì H là giao điểm của BF và CE nên H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì I là trung điểm của BC nên I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy H đối xứng với D qua I.

c) Ta có K là trung điểm của AH nên AK = KH. Vì E là trung điểm của AC nên AE = EC. Tương tự, vì F là trung điểm của AB nên AF = FB. Do đó, ta có AK = KH = AE = EC = AF = FB. Vậy tam giác AEF là tam giác đều. Ta có góc AEF = 60°. Vì BF là đường cao của tam giác ABC nên góc BFC = 90°. Do đó, góc BEC = 180° - góc BFC = 180° - 90° = 90°. Ta có góc BEC = 90° và tam giác AEF là tam giác đều nên EK ⊥ EI. Vậy EK = EI.

d) Vì B, C cố định và A di chuyển trên đường tròn nên tam giác ABC di chuyển trên một hình tròn ngoại tiếp với đường tròn (O;R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.