Để chứng minh I là trực tâm tam giác BDC, ta cần chứng minh rằng IB = ID và IC = ID.

Ta có:
- Vì I là trung điểm của đường cao AH nên AI = IH.
- Vì D là điểm đối xứng của H qua A nên AD = AH.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao, nên AH vuông góc với BC.
- Vì HM vuông góc AB nên HM song song với AC.
- Vì HN vuông góc AC nên HN song song với AB.

Từ các điều trên, ta có:
- Tam giác AHI là tam giác đều với AI = IH.
- Tam giác AHD là tam giác đều với AD = AH.
- Tam giác BHM và tam giác CHN là tam giác vuông cân với BM = HM và CN = HN.

Do đó, ta có:
- Tam giác BHM và tam giác CHN là tam giác đồng dạng với tỉ số 1:2.
- Từ đó, ta có BM = 2HM và CN = 2HN.

Vì I là trung điểm của AH nên IH = IA/2.
Vì I là trung điểm của AH nên ID = IA.
Vì BM = 2HM nên BM = 2IA/2 = IA.
Vì CN = 2HN nên CN = 2IA/2 = IA.

Từ đó, ta có:
IB = IA + AB = IA + BM = 2IA/2 + IA = 3IA/2.
ID = IA.
IC = IA + AC = IA + CN = 2IA/2 + IA = 3IA/2.

Vậy ta có IB = ID và IC = ID, suy ra I là trực tâm tam giác BDC.