Để chứng tỏ một số chia hết cho một số khác, ta cần chứng minh rằng phép chia có thể thực hiện mà không có dư.

1. Chứng minh 13.12 + 26.17 chia hết 13.33:
Ta có:
13.12 + 26.17 = 339 + 442 = 781
781 chia hết cho 13.33 nếu và chỉ nếu 781 chia hết cho 1333.
781 = 1333 * 0 + 781
Vậy, 13.12 + 26.17 chia hết 13.33.

2. Chứng minh 6^5 . 5 - 3^5 chia hết 53:
Ta có:
6^5 . 5 - 3^5 = 77760 - 243 = 77517
77517 chia hết cho 53 nếu và chỉ nếu 77517 chia hết cho 53.
77517 = 53 * 1463 + 38
Vậy, 6^5 . 5 - 3^5 chia hết 53.

3. Chứng minh 3^4n+1 + 2^4n+1 chia hết 5:
Ta có:
3^4n+1 + 2^4n+1 = 81^n * 3 + 16^n * 2
Để chứng minh rằng tổng này chia hết cho 5, ta cần chứng minh rằng cả hai số 81^n * 3 và 16^n * 2 đều chia hết cho 5.
- Số 81^n * 3 chia hết cho 5 vì 81^n chia hết cho 5 (vì 81 = 5 * 16 + 1) và 3 chia hết cho 5.
- Số 16^n * 2 chia hết cho 5 vì 16^n chia hết cho 5 (vì 16 = 5 * 3 + 1) và 2 chia hết cho 5.
Vậy, tổng 3^4n+1 + 2^4n+1 chia hết cho 5.