Chứng minh MA = PN

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và hình chữ nhật.

a) Ta có đường thẳng MN song song với đường thẳng PN, nên theo tính chất của các cặp góc đồng quy, ta có góc MAN = góc MPN. Nhưng tam giác MNP cân tại M, nên góc MPN = góc MNP. Do đó, góc MAN = góc MNP. Từ đó, ta suy ra tam giác MAN và tam giác MNP đồng dạng. Vậy, ta có tỉ số đồng dạng: MA/MN = MN/MP. Từ đó, suy ra MA = PN.

b) Ta có MA = PN (vừa chứng minh ở câu a). Vì K là trung điểm của MA, nên KA = KM. Ta cũng có góc KMN = góc KAN (do MN song song với PN). Từ đó, ta suy ra tam giác KMN và tam giác KAN đồng dạng. Vậy, ta có tỉ số đồng dạng: KM/KN = KA/KN. Từ đó, suy ra KM = KN. Vậy, tứ giác MKNH là hình chữ nhật.

c) Ta có góc MHN = góc MKN (do MKNH là hình chữ nhật). Vì MN song song với PN, nên góc MHN = góc PNA. Từ đó, ta suy ra tam giác MHN và tam giác PNA đồng dạng. Vậy, ta có tỉ số đồng dạng: MH/PA = MN/NA. Từ đó, suy ra MN = NA. Nhưng MN = KM (vừa chứng minh ở câu b), nên NA = KM. Vậy, ta có tứ giác KANM là hình bình hành. Do đó, ta có MN song song với AK. Từ đó, ta suy ra MN, AP, KH đồng quy tại O (do O là trung điểm của BC).

d) Để tam giác BCN đều, ta cần và đủ có góc NBC = 60 độ. Nhưng tam giác MNP cân tại M, nên góc MNP = góc MPN = (180 - góc NBC)/2. Từ đó, suy ra điều kiện cần và đủ để tam giác BCN đều là góc MNP = 90 - góc NBC = 30 độ.