a) Để tính A, ta sử dụng công thức tổng của dãy số hình thành bởi cấp số cộng với công bội là 2:

A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2021

Đặt S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2021

Nhân cả hai vế của phương trình trên với 2, ta được:

2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2021 + 2^2022

Trừ cả hai phương trình, ta có:

2S - S = (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2021 + 2^2022) - (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2021)

Simplifying the right side, we get:

S = 2^2022 - 1

Now, let's calculate A + 1:

A + 1 = (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2021) + 1

= 2^2022 - 1 + 1

= 2^2022

b) Để chứng minh A chia hết cho 5, ta cần chứng minh rằng 2^2022 chia hết cho 5.

Ta biết rằng 2^4 ≡ 1 (mod 5) (do 2^4 = 16 ≡ 1 (mod 5))

Do đó, ta có thể viết lại 2^2022 thành (2^4)^505 * 2^2.

Vì 2^4 ≡ 1 (mod 5), nên (2^4)^505 ≡ 1^505 ≡ 1 (mod 5).

Vậy, 2^2022 ≡ 1 * 2^2 ≡ 4 (mod 5).

Vì 4 chia hết cho 5, nên A chia hết cho 5.